Question

20．某教研機構準備舉行一次數(shù)學新課程研討會，共邀請 了n位一線教師（n＞8且n∈N^*），其中有6位教師使用人教A版教材，其余使用北師大版教材．
（Ⅰ）從這N位一線教師中隨機選出2位，若他們使用不同版本教材的概率不小于$\frac{1}{2}$，求N的最大值；
（Ⅱ）當N=12時，設選出的2位教師中使用人教A版教材的人數(shù)為ζ，求ξ的分布列和均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意得出概率P=$\frac{{{C}_{n-6}^{1}C}_{6}^{1}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{12（n-6）}{n（n-1）}$，列出不等式則$\frac{12（n-6）}{n（n-1）}$$≥\frac{1}{2}$，求解即可．
（Ⅱ）確定隨機變量得出ξ的可能取值為0，1，2，再根據(jù)題意分別得出概率P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{5}{22}$，P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{6}^{1}C}_{6}^{1}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{6}{11}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{5}{22}$，列出分布列即可．

解答 解：（Ⅰ）由題可知，所選兩人為“使用版本不同”的概率P=$\frac{{{C}_{n-6}^{1}C}_{6}^{1}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{12（n-6）}{n（n-1）}$，
則$\frac{12（n-6）}{n（n-1）}$$≥\frac{1}{2}$，
化簡得n²-25n+144≤0，解得9≤n≤16，故n的最大值為16；
（Ⅱ）由題意得，ξ的可能取值為0，1，2，
則P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{5}{22}$，P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{6}^{1}C}_{6}^{1}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{6}{11}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{5}{22}$，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{5}{22}$	$\frac{6}{11}$	$\frac{5}{22}$

∴Eξ=0×$\frac{5}{22}$+1×$\frac{6}{11}$$+2×\frac{5}{22}$=1．

點評 本題考查了古典概率分布在實際問題中的應用，關鍵是確定隨機變量以及相應的概率，列出分布列，不等式求解，難度較大，屬于中檔題．