Question

【題目】設(shè)A，B分別為雙曲線 (a>0，b>0)的左、右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.

(1)求雙曲線的方程；

(2)已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D，使，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t＝4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，3).

【解析】

（1）由雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)得a的值，再由焦點(diǎn)到漸近線的距離可得＝，解方程可得雙曲線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，由向量坐標(biāo)化可得：x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，再由直線與雙曲線聯(lián)立得x2－16x＋84＝0，結(jié)合坐標(biāo)關(guān)系利用韋達(dá)定理即可求解.

(1)由題意知a＝2.

∴一條漸近線為y＝x，即bx－2y＝0.

∴＝.

又c2＝a2＋b2＝12＋b2，∴解得b2＝3.

∴雙曲線的方程為.

(2)設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.

將直線方程代入雙曲線方程得x2－16x＋84＝0.

則x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.

∴∴

由，得(16，12)＝(4t,3t)．

∴t＝4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，3)．