Question

已知

1

3

＜a＜1，若f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），記g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析表達(dá)式；
（2）若對(duì)一切a∈(

1

3

，1)都有kg（a）-1＜0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將f（x）=ax²-2x+1配方化為f(x)=a(x-

1

a

)2+1-

1

a

，由

1

3

＜a＜1可求1＜

1

a

＜3，求得N（a）；根據(jù)f（x）的對(duì)稱軸x=

1

a

在區(qū)間[1，3]的位置情況分類討論，求得M（a），從而求得g（a）的解析表達(dá)式；
（2）對(duì)g(a)=

a+ 1 a -2         ( 1 3 ＜a＜ 1 2 ) 9a+ 1 a -6       ( 1 2 ≤a＜1)

，分段研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可求得各段上g（a）及

1

g(a)

的取值范圍，及k滿足的關(guān)系式，再利用“小小取小”的恒成立思想即可解決問題．

解答：解：（1）f(x)=a(x-

1

a

)2+1-

1

a

x∈[1，3]
由

1

3

＜a＜1知，1＜

1

a

＜3．從而N(a)=1-

1

a

∴當(dāng)1＜

1

a

≤2即

1

2

≤a＜1時(shí)，M（a）=f（3）=9a-5
當(dāng)2＜

1

a

＜3即

1

3

＜a＜

1

2

時(shí)，M（a）=f（1）=a-1
∴g(a)=

a+ 1 a -2         ( 1 3 ＜a＜ 1 2 ) 9a+ 1 a -6       ( 1 2 ≤a＜1)

（2）當(dāng)

1

3

＜a＜

1

2

時(shí)，g(a)=a+

1

a

-2為減函數(shù)．
∴

1

2

＜g(a)＜

4

3

．
要使kg（a）-1＜0恒成立，則k＜

1

g(a)

恒成立．而

3

4

＜

1

g(a)

＜2
∴k≤

3

4

．
又當(dāng)

1

2

≤a＜1時(shí)，g(a)=9a+

1

a

-6=9(a+

1 9

a

)-6為增函數(shù)
∴

1

2

≤g(a)＜4
要使kg（a）-1＜0恒成立．則k＜

1

g(a)

恒成立．而

1

4

＜

1

g(a)

≤2
∴k≤

1

4

綜上得，k≤

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，著重考查學(xué)生分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想及恒成立思想的應(yīng)用，中檔題．