Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為 曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，與交于點(diǎn).

（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)的普通方程及直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，并求；

（2）設(shè)為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；；；（2）

【解析】

（1）對(duì)曲線(xiàn)的參數(shù)方程移項(xiàng)、平方相加，消去參數(shù)；由直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程可得直線(xiàn)的普通方程；將代入曲線(xiàn)方程中，求得，進(jìn)而求得；

（2）將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程得橢圓的方程，再設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，求出點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離，即可得到面積的最大值.

（1）因?yàn)榍�線(xiàn)（為參數(shù)），則，

所以曲線(xiàn)的普通方程為：；

直線(xiàn)：的普通方程為：；

將代入，解得：，

所以.

（2）曲線(xiàn)的普通方程為，設(shè)，

則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

所以面積的最大值為.