Question

【題目】已知、是橢圓：的左右焦點(diǎn)，焦距為6，橢圓上存在點(diǎn)使得，且的面積為9.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）過(guò)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，直線與軸不重合，是軸上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值集合.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由已知列方程組，解出a，再由確定橢圓方程.

（Ⅱ）取MN的中點(diǎn)T，由，化為,即P為直線MN的垂直平分線與y軸的交點(diǎn).先求MN斜率不存在時(shí)P的縱坐標(biāo)；當(dāng)MN斜率存在時(shí)設(shè)MN：，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求MN的中點(diǎn)T的坐標(biāo)，建立PT的方程，可求P的縱坐標(biāo)與k的關(guān)系式，再利用基本不等式進(jìn)行求解.

解：（Ⅰ）由題意得：

，

，

∴，

，

∴，又，∴，

∴的方程為.

（Ⅱ）設(shè)的坐標(biāo)為，的中點(diǎn)為，

當(dāng)的斜率存在時(shí),則，的方程為.

由題意知：，

∴，

設(shè)，，

∴，

∴，∴，

∴，

∴，∴.

當(dāng)時(shí)，，∴，

當(dāng)時(shí)，，∴.

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，，

∴.

∴的縱坐標(biāo)的取值集合為：.