Question

【題目】設函數(shù)．

（）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

（）過坐標原點作曲線的切線，證明：切點的橫坐標為．

Answer 1

【答案】（）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（）（）見解析

【解析】試題分析：（1）當時，求出函數(shù)的導函數(shù)，分別令和，解出不等式得單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，即對任意恒成立，利用分離參數(shù)法可得最后結果；（3）設切點為，對函數(shù)進行求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得，根據(jù)切線過原點，可得斜率為，兩者相等化簡可得，先證存在性，再通過單調(diào)性證明唯一性.

試題解析：（）當時， ， ，令，則，令，則，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．

（），∵在區(qū)間上是減函數(shù)，∴對任意恒成立，即對任意恒成立，

令，則，易知在上單調(diào)遞減，∴，∴．

（）設切點為， ，∴切線的斜率，

又切線過原點， ，∴，即，

∴，存在性， 滿足方程，

所以是方程的根唯一性，

設，則，∴在上單調(diào)遞增，且，∴方程有唯一解，綜上，過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為．