Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，證明：切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

Answer 1

【答案】（）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（）（）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分別令和，解出不等式得單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，即對(duì)任意恒成立，利用分離參數(shù)法可得最后結(jié)果；（3）設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，根據(jù)切線過(guò)原點(diǎn)，可得斜率為，兩者相等化簡(jiǎn)可得，先證存在性，再通過(guò)單調(diào)性證明唯一性.

試題解析：（）當(dāng)時(shí)， ， ，令，則，令，則，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．

（），∵在區(qū)間上是減函數(shù)，∴對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，

令，則，易知在上單調(diào)遞減，∴，∴．

（）設(shè)切點(diǎn)為， ，∴切線的斜率，

又切線過(guò)原點(diǎn)， ，∴，即，

∴，存在性， 滿足方程，

所以是方程的根唯一性，

設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，且，∴方程有唯一解，綜上，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．