Question

18．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）在x=$\frac{π}{3}$處取最大值為3，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）求的值域．

Answer 1

分析 （1）通過函數(shù)的最大值求出A，通過對稱軸求出周期，求出ω，求出φ即可得到函數(shù)的解析式．
（2）通過函數(shù)的解析式，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的有界性求解函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的最大值為3，∴A+1=3，即A=2，
∵函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，T=π，∴ω=2．
f（x）=2sin（2x+φ）+1（-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）在x=$\frac{π}{3}$處取最大值為3，可得2sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）+1=3，$\frac{2π}{3}+$φ=$\frac{π}{2}$，
φ=$-\frac{π}{6}$．
故函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x$-\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]；f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]
f（x）求的值域為：[0，3]．

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查計算能力．