Question

【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，傾斜角

為的直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，且與拋物線交于、兩點(diǎn).

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線的方程；

（2）若為銳角，作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明為定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】（1）標(biāo)準(zhǔn)方程為,準(zhǔn)線l的方程為.（2）4

【解析】試題分析：（1）先利用焦半徑公式和點(diǎn)在拋物線上求出拋物線的方程，進(jìn)而寫(xiě)出其準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、焦半徑公式進(jìn)行求解.

試題解析：（1） ∴在拋物線上，∴

，得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,從而所求準(zhǔn)線l的方程為.

（2）設(shè)， ，直線AB的斜率為

，則直線AB方程為.

將此式代入,得，

故.

記直線m與AB的交點(diǎn)為，則， ， 故直線m的方程為.

令y=0,得P的橫坐標(biāo)，

故.

故.