Question

如圖所示，B點坐標為（-c，0），C點坐標為（c，0），AH⊥BC，垂足為H，且

.

BH

=3

.

HC

．
（1）若

AB

?

AC

=0，求以B、C為焦點并且經(jīng)過點A的橢圓的離心率；
（2）

AD

=λ

DB

，A、D同在以B、C為焦點的橢圓上，當-5≤λ≤

7

2

時，求橢圓的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意算出H(

c

2

，0)，可設A（

c

2

，y₀），得到向量

AB

、

AC

關于c、y₀的坐標，由

AB

?

AC

=0列式化簡得到

y

2 0

=

3

4

c2，由兩點間的距離公式算出|AB|、|AC|關于c的式子，從而算出|AB|+|AC|=（

3

+1）c，由此利用橢圓離心率的公式，即可算出該橢圓的離心率；
（2）設D（x₁，y₁），根據(jù)向量的坐標運算公式算出x1=

c 2 -cλ

1+λ

，y1=

y0

1+λ

．將A、D兩點的坐標代入橢圓方程，組成方程組并消去

y

2 0

得e2=

λ+2

λ-1

，根據(jù)-5≤λ≤

7

2

算出e2∈[

1

3

，

1

2

]，從而解出

3

3

≤e≤

2

2

．

解答：解：（1）∵B（-c，0），C（c，0），
∴由

BH

=3

HC

，解出H(

c

2

，0)，
∵AH⊥BC，可設A（

c

2

，y₀），得

AB

=(-c-

c

2

，-y0)，

AC

=(c-

c

2

，-y0)
∴由

AB

?

AC

=0，得(-c-

c

2

)(c-

c

2

)+y02=0，化簡得

y

2 0

=

3

4

c2，
∴|AB|=

(-c- c 2 )2+ 3 4 c2

=

3

c，|AC|=

( C 2 )2+ 3 4 c2

=c，
∴以B、C為焦點橢圓的長軸2a=|AB|+|AC|=(

3

+1)c，
可得e=

c

a

=

2

3 +1

=

3

-1．
（2）設D（x₁，y₁），
∵

AD

=λ

DB

，A（

c

2

，y₀），B（-c，0），∴x1=

c 2 -cλ

1+λ

，y1=

y0

1+λ

，
將A(

c

2

，y0)，D(

c 2 -cλ

1+λ

，

y0

1+λ

)代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，
可得

( c 2 )2 a2 + y 2 0 b2 =1 ( c 2 -cλ 1+λ )2 a2 + ( y0 1+λ )2 b2 =1

，消去

y

2 0

得e2=

λ+2

λ-1

，
∵-5≤λ≤-

7

2

，可得

1

3

≤

λ+2

λ-1

≤

1

2

，
∴e2∈[

1

3

，

1

2

]，解之得

3

3

≤e≤

2

2

．

點評：本題給出三角形滿足的幾何關系和向量等式，求橢圓的離心率取值范圍．著重考查了向量的坐標運算、向量的數(shù)量積和橢圓的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．