Question

甲、乙兩名運(yùn)動員在4次訓(xùn)練中的得分情況如下面的莖葉圖所示．
（Ⅰ）分別計算甲、乙訓(xùn)練得分的平均數(shù)和方差，并指出誰的訓(xùn)練成績更好，為什么？
（Ⅱ）從甲、乙兩名運(yùn)動的訓(xùn)練成績中各隨機(jī)抽取1次的得分，分別記為x，y，設(shè)ξ=|x-8|+|y-10|，分別求出ξ取得最大值和最小值時的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）分別求出甲和乙的平均數(shù)和方差，由此得到乙的平均水平比甲高，乙的訓(xùn)練成績比甲穩(wěn)定，故乙的訓(xùn)練成績更好些．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出ξ=|x-8|+|y-10|=0，1，3，4，5，由此能ξ取得最大值時的概率和ξ取得最小值時的概率．

解答： 解：（Ⅰ）∵

.

x甲

=

1

4

(8+8+9+11)=9，

s

2 甲

=

1

4

[(8-9)2×2+(9-9)2+(11-9)2]=

3

2

；…（2分）

.

x乙

=

1

4

(8+9+10+11)=

19

2

，

s

2 乙

=

1

4

[(8-

19

2

)2+(9-

19

2

)2+(10-

19

2

)2+(11-

19

2

)2]=

5

4

．…（4分）

.

x甲

＜

.

x乙

，  

s

2 甲

＞

s

2 乙

，
說明乙的平均水平比甲高，乙的訓(xùn)練成績比甲穩(wěn)定，
∴乙的訓(xùn)練成績更好些．…（6分）
（Ⅱ）∵|x-8|的可能取值為0，1，3，
|y-10|的可能取值為0，1，2，…（8分）
∴ξ=|x-8|+|y-10|=0，1，3，4，5，
∴ξ取得最大值時的概率為P(ξ=5)=

C 1 1 • C 1 1

C 1 4 • C 1 4

=

1

16

，…（10分）
ξ取得最小值時的概率為P(ξ=0)=

C 1 2 • C 1 1

C 1 4 • C 1 4

=

1

8

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查均值和方差的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意莖葉圖的合理運(yùn)用．