Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，點B是橢圓C的上頂點，點Q在橢圓C上（異于B點）．
（Ⅰ）若橢圓V過點（﹣ ， ），求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+b與橢圓C交于B、P兩點，若以PQ為直徑的圓過點B，證明：存在k∈R， = ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）橢圓的離心率e= = = ，則a2=2b2 ，
將點（﹣ ， ）代入橢圓方程 ，解得：a2=4，b2=2，
∴橢圓的標準方程為： ，
（Ⅱ）由題意的對稱性可知：設存在存在k＞0，使得 = ，
由a2=2b2 ， 橢圓方程為： ，
將直線方程代入橢圓方程，整理得：（1+2k2）x2+4kbx=0，
解得：xP=﹣ ，則丨BP丨= × ，
由BP⊥BQ，則丨BQ丨= ×丨 丨= ，
由 = ．，則2 × = ，
整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，
設f（x）=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f（ ）＜0，f（ ）＞0，
∴函數f（x）存在零點，
∴存在k∈R， =
【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率公式求得a和b的關系，將（﹣ ， ）代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，求得P的橫坐標，求得丨BP丨，利用直線垂直的斜率關系求得丨BQ丨，由 = ，根據函數零點的判斷即可存在k∈R， = ．