Question

【題目】某工廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量 與尺寸 之間滿足關(guān)系式 為大于 的常數(shù)），現(xiàn)隨機抽取6件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：

對數(shù)據(jù)作了處理，相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表：

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求 關(guān)于 的回歸方程（提示：由已知， 是 的線性關(guān)系）；
（2）按照某項指標(biāo)測定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間 內(nèi)時為優(yōu)等品，現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品再任選3件，求恰好取得兩件優(yōu)等品的概率；
（附：對于一組數(shù)據(jù) ，其回歸直線 的斜率和截距的最小二乘法估計值分別為 ）

Answer 1

【答案】
（1）解：對 ，兩邊取自然對數(shù)得 ，
令 ，得 ，
， ，
得 ，故所求回歸方程為
（2）解：由 ，解得 ， ，即優(yōu)等品有3件.
記“恰好取得兩件優(yōu)等品”為事件 ,從 件合格品中選出3件的方法數(shù)為 ，
從 件合格品取3件恰好2件為優(yōu)等品的取法有 種，則
【解析】(1)根據(jù)題意對函數(shù)兩邊取對數(shù)得到 ln y = b ln x + ln a，令 v i = ln x i , u i = ln y i ，得 u = b v + ln a，由最小二乘法求得系數(shù)進而得出y關(guān)于x的回歸方程。(2)由題意求得優(yōu)等品的個數(shù)求得隨機變量的取值分別求得各個取值下的概率，然后結(jié)合其分布列和數(shù)學(xué)期望值。