Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求∠ADC；
（2）求證：BC⊥PC；
（3）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）過(guò)D作BC的平行線DE，交AB于E，由已知能求出∠DAE=45°，從而能求出∠ADC．
（2）推導(dǎo)出PD⊥BC，BC⊥DC，由此能證明PC⊥BC．
（3）連結(jié)AC，設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h，由等體積法能求出點(diǎn)A到平面PBC的距離．

解答 解：（1）過(guò)D作BC的平行線DE，交AB于E，
∵在四棱錐P-ABCD中，PD⊥面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，
∴AE=DE=1，DE⊥AE，
∴∠DAE=45°，
∴∠ADC=135°．
證明：（2）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
由∠BCD=90°，得BC⊥DC，
又PD∩DC=D，PD?平面PCD，DC?平面PCD，
∴BC⊥平面PCD，
∵PC?平面PCD，
∴PC⊥BC．
解：（3）連結(jié)AC，設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h，
因?yàn)锳B∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°，
從而由AB=2，BC=1，得△ABC的面積S_△ABC=1，
由PD⊥平面ABCD及PD=1，
得三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PD=\frac{1}{3}$，
∵PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，
∴PD⊥DC，
又PD=DC=1，∴PC=$\sqrt{P{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面積S_△PBC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由$V=\frac{1}{3}{S}_{△PBC}h$=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{2}}{2}•h$=$\frac{1}{3}$，解得h=$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)A到平面PBC的距離為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的求法，考查線線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．