Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin（x+ ）+sin（x﹣ ）+cosx+a（a∈R，a為常數(shù)）． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[﹣ ， ]上的最大值與最小值之和為 ，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（x+ ）+sin（x﹣ ）+cosx+a =sinxcos +cosxsin +sinxcos ﹣cosxsin +cosx+a
= sinx+cosx+a=2（ sinx+ cosx）+a=2sin（x+ ）+a，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π；
（Ⅱ）∵x∈[﹣ ， ]，∴﹣ ≤x+ ≤ ，
∴當(dāng)x+ =﹣ ，即x=﹣ 時(shí)，f（x）的最小值=f（﹣ ）=﹣ +a，
當(dāng)x+ = ，即x= 時(shí)，f（x）的最大值=f（ ）=2+a，
由題意，有（﹣ +a）+（2+a）= ，
∴a= ﹣1．
【解析】（Ⅰ）把f（x）的解析式先利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，合并后再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由x的范圍，求出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的最大值及最小值，讓其和等于 列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【考點(diǎn)精析】掌握三角函數(shù)的最值是解答本題的根本，需要知道函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．