Question

18．等邊三角形ABC中，若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，則當(dāng)$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$取得最小值時，λ=（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 以AB所在的直線為x軸，以AB的垂直平行線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊三角形的邊長為2，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算和向量的數(shù)量積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：以AB所在的直線為x軸，以AB的垂直平行線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
設(shè)等邊三角形的邊長為2，
則A（-1，0），B（1，0），C，（0，$\sqrt{3}$），
設(shè)P（x，y），
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，
∴（x+1，y）=λ（2，0）+（1，$\sqrt{3}$），
∴x=2λ，y=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=（1-x，-y）•（-x，$\sqrt{3}$-y）=-x（1-x）-y（$\sqrt{3}$-y）=2λ（2λ-1）=4（λ-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)λ=$\frac{1}{4}$時，有最小值，
故選：A

點評 本題考查了向量的坐標(biāo)運算和向量的數(shù)量積的運算，屬于中檔題