Question

13．下列命題中的假命題是（　�。�

• A． log₂3＜log₃5
• B． ?x∈（-∞，0），e^x＞x+1
• C． ${log_{\frac{1}{2}}}3＜{（\frac{1}{2}）^3}＜{3^{\frac{1}{2}}}$
• D． ?x＞0，x＞sinx

Answer 1

分析 對于A．log₂3＞$lo{g}_{2}\sqrt{8}$=$\frac{3}{2}$，log₃5＜$lo{g}_{3}\sqrt{27}$=$\frac{3}{2}$，即可判斷出真假．
對于B．?x∈（-∞，0），令f（x）=e^x-x-1，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，即可判斷出真假．
對于C．根據(jù)$lo{g}_{\frac{1}{2}}3$＜0＜$\frac{1}{8}$=$（\frac{1}{2}）^{3}$＜1$＜\sqrt{3}$=${3}^{\frac{1}{2}}$，即可判斷出真假．
對于D．令f（x）=x-sinx，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：對于A．∵log₂3＞$lo{g}_{2}\sqrt{8}$=$\frac{3}{2}$，log₃5＜$lo{g}_{3}\sqrt{27}$=$\frac{3}{2}$，∴l(xiāng)og₂3＞log₃5，因此是假命題．
對于B．?x∈（-∞，0），令f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1＜0，因此函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，∴f（x）＞f（0）=0，∴e^x＞x+1，因此是真命題．
對于C．∵$lo{g}_{\frac{1}{2}}3$＜0＜$\frac{1}{8}$=$（\frac{1}{2}）^{3}$＜1$＜\sqrt{3}$=${3}^{\frac{1}{2}}$，因此是真命題．
對于D．令f（x）=x-sinx，x∈（0，+∞），則f′（x）=1-cosx≥0，因此函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（0）=0，因此是真命題．
故選：A．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．