Question

9．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$，（a＞0且a≠1）是奇函數(shù)
（1）求m的值；
（2）討論f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)可得：f（-x）+f（x）=0，求出m的值之后，再驗證是否滿足函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
則log_a$\frac{1-mx}{x-1}$+log_a$\frac{1+mx}{-x-1}$=0，
即log_a（$\frac{1-mx}{x-1}$•$\frac{1+mx}{-x-1}$）=0，
即$\frac{1-mx}{x-1}$•$\frac{1+mx}{-x-1}$=1，
即1-m²x²=1-x²，
即m²=1，即m=±1，
若m=1，則f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$=log_a$\frac{1-x}{x-1}$=f（x）=log_a（-1）無意義，
若m=-1，則f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$=log_a$\frac{1+x}{x-1}$，有意義，
即m=-1．
（2）由$\frac{1+x}{x-1}$＞0得x＞1或x＜-1，即函數(shù)的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
設(shè)1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=log_a$\frac{1+{x}_{1}}{{x}_{1}-1}$-log_a$\frac{1+{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$=log_a$\frac{（1+{x}_{1}）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（1+{x}_{2}）}$，
而（1+x₁）（x₂-1）-（x₁-1）（1+x₂）=2（x₂-x₁）＞0，及（x₁-1）（1+x₂）＞0，
∴$\frac{（1+{x}_{1}）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（1+{x}_{2}）}＞1$，
若a＞1，
∴$lo{g}_{a}\frac{（1+{x}_{1}）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（1+{x}_{2}）}＞0$
∴f（x₁）＞f（x₂）．
當0＜a＜1時，同理可證f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．