Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為：，；單調(diào)遞增區(qū)間為：，；（2）當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn).

【解析】

（1）先判斷為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究上的單調(diào)性，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，得到答案.（2）先求出導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)按照，，進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)，得到在單調(diào)遞增，結(jié)合，判斷出此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)，得到單調(diào)性，結(jié)合，的值，以及偶函數(shù)的性質(zhì)，得到零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：∵∴為偶函數(shù)，

只需先研究

當(dāng)，，當(dāng)，，

所以在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減

所以根據(jù)偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

.故單調(diào)遞減區(qū)間為：，；單調(diào)遞增區(qū)間為：，

（2）

①時(shí)，在恒成立

∴在單調(diào)遞增

又，所以在上無(wú)零點(diǎn)

②時(shí)，，

使得，即.

又在單調(diào)遞減，

所以，，，

所以，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，

又，

（i），即時(shí)

在上無(wú)零點(diǎn)，

又為偶函數(shù)，所以在上無(wú)零點(diǎn)

（ii），即

在上有1個(gè)零點(diǎn)，

又為偶函數(shù)，所以在上有2個(gè)零點(diǎn)

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn).