Question

【題目】已知拋物線，為其焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線，過(guò)任作一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，、分別為、在上的射影，為的中點(diǎn)，給出下列命題：

（1）；（2）；（3）；

（4）與的交點(diǎn)的軸上；（5）與交于原點(diǎn).

其中真命題的序號(hào)為_________.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）（4）（5）

【解析】

（1）由、在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知，，從而有相等的角，由此可判斷；

（2）取的中點(diǎn)，利用中位線即拋物線的定義可得，從而可得；

（3）由（2）知，平分，從而可得，根據(jù)，利用垂直于同一直線的兩條直線平行，可得結(jié)論；

（4）取與軸的交點(diǎn)，可得，可得出的中點(diǎn)在軸上，從而得出結(jié)論；

（5）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，證明出、、三點(diǎn)共線，同理得出、、三點(diǎn)共線，由此可得出結(jié)論.

（1）由于、在拋物線上，且、分別為、在準(zhǔn)線上的射影，

根據(jù)拋物線的定義可知，，則，，

，，則，

即，，則，即，（1）正確；

（2）取的中點(diǎn)，則，，即，

（2）正確；

（3）由（2）知，，，

，，，

平分，，由于，，（3）正確；

（4）取與軸的交點(diǎn)，則，軸，可知，

，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，由（3）知，平分，過(guò)點(diǎn)，

所以，與的交點(diǎn)的軸上，（4）正確；

（5）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，則點(diǎn)、，

將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得，，

由韋達(dá)定理得，，

直線的斜率為，

直線的斜率為，，

則、、三點(diǎn)共線，同理得出、、三點(diǎn)共線，

所以，與交于原點(diǎn)，（5）正確.

綜上所述，真命題的序號(hào)為：（1）（2）（3）（4）（5）.

故答案為：（1）（2）（3）（4）（5）.