Question

【題目】如圖，三棱錐中，，底面為正三角形．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若平面，，，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，一般通過(guò)線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理，即先證線(xiàn)面垂直，耳線(xiàn)面垂直的判定，往往從線(xiàn)線(xiàn)垂直出發(fā)，其中線(xiàn)線(xiàn)垂直的尋找與論證往往利用平幾知識(shí)：取的中點(diǎn)，則由等腰三角形性質(zhì)得，，進(jìn)而可證線(xiàn)面垂直（Ⅱ）求三棱錐體積，關(guān)鍵在于確定高線(xiàn)，而高線(xiàn)的確定，主要利用線(xiàn)面垂直條件進(jìn)行尋找，由（Ⅰ）得，即為三棱錐及的高．根據(jù)面面垂直可得線(xiàn)面垂直，即，所以，最后代入錐的體積公式即可

試題解析：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，，

∵，

∴，

又，

∴，

∴．………………………………5分

（Ⅱ）平面且交于，，

∴，即為三棱錐的高．

又，，，

∴，

∴．

則三棱錐的體積為．………………………………12分