Question

【題目】數(shù)列對(duì)于確定的正整數(shù)，若存在正整數(shù)使得成立，則稱數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”.

（1）設(shè) 是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，證明為“3階可分拆數(shù)列”；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，求實(shí)數(shù)的值；

（3）設(shè)，試探求是否存在使得若數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”．若存在，請(qǐng)求出所有，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）或3.

【解析】試題分析：

(1)利用題中所給的新定義內(nèi)容結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可證得結(jié)論；

(2)由題意整理計(jì)算可得；

(3)假設(shè)實(shí)數(shù)m存在，討論可得或3.

試題解析：

（1）由題意可知

，所以

所以為“3階可分拆數(shù)列”；

因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以

因?yàn)榇嬖谡�整�?shù)得成立

當(dāng)時(shí)即

因?yàn)?/span>，

所以，而所以不存在正整數(shù)（）使得成立

當(dāng)時(shí)，得

所以時(shí)存在正整數(shù)使得成立

由得.

假設(shè)存在使得若數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”

即存在確定的正整數(shù)，存在正整數(shù)使得成立

當(dāng)時(shí)，，時(shí)方程成立

當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)，所以不存在正整數(shù)使得成立

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)成立

④當(dāng)時(shí)

所以不存在正整數(shù)使得成立

綜上：或3.