Question

4．已知直線l₁：ax-y+a+2=0，l₂：ax+（a²-2）y+1=0，當(dāng)a為何值是，l₁和l₂：
（1）相交；
（2）平行；
（3）重合．

Answer 1

分析 （1）對y的系數(shù)分類討論，利用兩條直線相交的充要條件即可得出；
（2）對y的系數(shù)分類討論，利用兩條直線平行的充要條件即可得出；
（3）利用（1）（2）及其兩條直線重合的充要條件即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)a²-2=0，即a=$±\sqrt{2}$時，直線l₁和l₂分別化為：y=$\sqrt{2}x$+$\sqrt{2}$+2，$\sqrt{2}$x+1=0，此時兩條直線相交，滿足條件；或y=-$\sqrt{2}x$-$\sqrt{2}$+2，-$\sqrt{2}$x+1=0，此時兩條直線相交，滿足條件．∴a=$±\sqrt{2}$時．
當(dāng)a²-2≠0，即a≠$±\sqrt{2}$時，直線l₁和l₂分別化為：y=ax+a+2，y=$\frac{a}{2-{a}^{2}}x+\frac{1}{2-{a}^{2}}$，由于兩條直線相交，∴$\frac{a}{2-{a}^{2}}$≠a，解得a≠0或a≠±1．
綜上可得：a=$±\sqrt{2}$，或a≠0或a≠±1時，兩條直線相交．
（2）由（1）可知：當(dāng)a²-2=0，即a=$±\sqrt{2}$時，此時兩條直線相交，不平行，舍去；
當(dāng)a²-2≠0，即a≠$±\sqrt{2}$時，直線l₁和l₂分別化為：y=ax+a+2，y=$\frac{a}{2-{a}^{2}}x+\frac{1}{2-{a}^{2}}$，由于兩條直線平行，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2-{a}^{2}}=a}\\{\frac{1}{2-{a}^{2}}≠a+2}\end{array}\right.$，解得a=0或a=1．
綜上可得：a=0或a=1時，兩條直線平行．
（3）由（1）（2）可知：a=-1時兩條直線重合．

點評 本題考查了分類討論方法、兩條直線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．