Question

某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時間不超過10小時．若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元．
（1）用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤W（元）；
（2）怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）依題意，每天生產(chǎn)的傘兵的個數(shù)為100-x-y，根據(jù)題意即可得出每天的利潤；
（2）先根據(jù)題意列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)W=2x+3y+300，再利用T的幾何意義求最值，只需求出直線0=2x+3y過可行域內(nèi)的點A時，從而得到W值即可．

解答： 解：（1）依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100-x-y，
所以利潤W=5x+6y+3（100-x-y）
=2x+3y+300（x，y∈N）．
（2）約束條件為

5x+7y+4(100-x-y)≤600 100-x-y≥0 x≥0 y≥0

整理得

x+3y≤200 x+y≤100 x≥0 y≥0

目標(biāo)函數(shù)為W=2x+3y+300，
如圖所示，作出可行域．
初始直線l₀：2x+3y=0，平移初始直線經(jīng)過點A時，W有最大值．
由

x+3y=200 x+y=100

得

x=50 y=50

最優(yōu)解為A（50，50），
所以W_max=550（元）．
答：每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個，騎兵50個，傘兵0個時利潤最大，為550（元）

點評：本題考查簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件，②由約束條件畫出可行域，③分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系，④使用平移直線法求出最優(yōu)解，⑤還原到現(xiàn)實問題中．