Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+bx+a}{x}$，（a＞0，b∈R）
（1）當(dāng)x≠0時(shí)，求證：f（x）=f（$\frac{1}{x}$）；
（2）若函數(shù)y=f（x），x∈[$\frac{1}{2}$，2]的值域?yàn)閇5，6]，求f（x）；
（3）在（2）條件下，討論函數(shù)g（x）=f（2^x）-k（k∈R）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）把f（x）中的x換上$\frac{1}{x}$便可求出$f（\frac{1}{x}）$，整理之后便可得出f（x）=$f（\frac{1}{x}）$；
（2）將f（x）變成$f（x）=a（x+\frac{1}{x}）+b$，求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)：x∈[$\frac{1}{2}，1$）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（1，2]時(shí)，f′（x）＞0，從而得出x=1時(shí)f（x）取到最小值5，并且f（$\frac{1}{2}$）=f（2）=6，從而得到$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=5}\\{\frac{5a}{2}+b=6}\end{array}\right.$，這樣即可解出a=2，b=1，從而得出f（x）=$2（x+\frac{1}{x}）+1$；
（3）先求出g（x）=2（2^x+2^-x）+1-k，根據(jù)（2）便可判斷g（x）的單調(diào)性，從而得出g（x）最小值為5-k，這樣討論5-k和0的關(guān)系即可得出g（x）零點(diǎn)的情況．

解答 解：（1）證明：$f（\frac{1}{x}）=\frac{a•\frac{1}{{x}^{2}}+b•\frac{1}{x}+a}{\frac{1}{x}}=\frac{a{x}^{2}+bx+a}{x}=f（x）$；
∴$f（x）=f（\frac{1}{x}）$；
（2）$f（x）=a（x+\frac{1}{x}）+b$，$f′（x）=\frac{a（{x}^{2}-1）}{{x}^{2}}$；
∵$x∈[\frac{1}{2}，2]$，a＞0；
∴$x∈[\frac{1}{2}，1）$時(shí)，f′（x）＜0，x∈（1，2]時(shí)，f′（x）＞0；
∴x=1時(shí)f（x）取最小值6，即2a+b=5；
∴f（$\frac{1}{2}$）=6，或f（2）=6；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=5}\\{\frac{5a}{2}+b=6}\end{array}\right.$；
解得a=2，b=1；
∴$f（x）=2（x+\frac{1}{x}）+1$；
（3）g（x）=2（2^x+2^-x）+1-k；
y=2^x為增函數(shù)；
∴由（2）知，2^x＜1，即x＜0時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，x＞0時(shí)，g（x）單調(diào)遞增；
∴x=0時(shí)，g（x）取到最小值5-k，x趨向正無(wú)窮和負(fù)無(wú)窮時(shí)，g（x）都趨向正無(wú)窮；
∴①5-k＜0，即k＞5時(shí)，g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
②5-k=0，即k=5時(shí)，g（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
③5-k＞0，即k＜5時(shí)，g（x）沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)零點(diǎn)的概念及零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷．