Question

19．己知x∈R，則函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+4}$的值域是[$-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 可設(shè)$y=\frac{x}{{x}^{2}+4}$，從而得到y(tǒng)x²+4y=x，進(jìn)一步可得到y(tǒng)x²-x+4y=0，可看成關(guān)于x的方程，方程有解，顯然需討論y：y=0容易判斷滿(mǎn)足方程有解，而y≠0時(shí)，需滿(mǎn)足△=1-16y²≥0，這樣解出y的范圍，并上y=0便可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：設(shè)y=f（x），則：
yx²+4y=x；
∴yx²-x+4y=0，看成關(guān)于x的方程，方程有解；
①y=0時(shí)，x=0，滿(mǎn)足方程有解；
②y≠0時(shí)，△=1-16y²≥0；
解得$-\frac{1}{4}≤y≤\frac{1}{4}$；
∴綜上得，原函數(shù)的值域?yàn)?[-\frac{1}{4}，\frac{1}{4}]$．
故答案為：[$-\frac{1}{4}，\frac{1}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，以及形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函數(shù)值域的求法：整理成關(guān)于x的方程的形式，根據(jù)方程有解求值域，一元二次方程有解時(shí)判別式△的取值情況．