Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1=a_n+a_n+2，它的前n項和為S_n，且a₃=10，S₆=72．若b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30．
（1）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n的最小值；
（2）求數(shù)列{|b_n|}的前n項和M_n．

Answer 1

分析 （1）通過數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1=a_n+a_n+2可知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，利用a₃=10、S₆=72計算可知a_n=4n-2，進而可知b_n=2n-31，解不等式b_n≤0，求出最大正整數(shù)解即可；
（2）通過（1）可知|b_n|的表達式，分情況討論：當(dāng)1≤n≤15時M_n=-T_n、當(dāng)n≥16時M_n=T_n-2T₁₅，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1=a_n+a_n+2，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
又∵a₃=10，S₆=72，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=10}\\{6{a}_{1}+\frac{5（1+5）}{2}d=72}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=4}\end{array}\right.$，
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2，
∴b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30=2n-1-30=2n-31，
令b_n=2n-31=0，解得：n=$\frac{31}{2}$，
∴當(dāng)n=15時，T_n最小，
最小值為$\frac{15[（2-31）+（2×15-31）]}{2}$=-225；
（2）由（1）可知：|b_n|=$\left\{\begin{array}{l}{31-2n，}&{1≤n≤15}\\{2n-31，}&{n≥16}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)1≤n≤15時，M_n=-T_n=$\frac{n[（31-2）+（31-2n）]}{2}$=（30-n）n；
當(dāng)n≥16時，M_n=T_n-2T₁₅=$\frac{n[（2-31）+（2n-31）]}{2}$-2×（-225）=n²-30n+450；
綜上所述，M_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+30n，}&{1≤n≤15}\\{{n}^{2}-30n+450，}&{n≥16}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．