Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，過焦點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，問：在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)，使，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 在軸的正半軸上存在定點(diǎn)，使，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】試題分析：（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線的方程為（，且），聯(lián)立，消去，得.巧用韋達(dá)定理表示，從而得到拋物線的方程；

（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使， 設(shè)，由（1），知.明確，由，得，從而得到出定點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：

（1）由題意知，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線的方程為（，且），

聯(lián)立，消去，得.

設(shè)，

則.

所以，

解得.

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使，

設(shè)，

由（1），知.

又，設(shè)直線的斜率分別為，

則， ，

則直線的方程為，

令，得，

同理，得.

故

.

由，得，

即，

故，

解得或 (負(fù)值舍去），

即在軸的正半軸上存在定點(diǎn)，使，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為.