Question

某大學(xué)準(zhǔn)備在開學(xué)時(shí)舉行一次大學(xué)一年級(jí)學(xué)生座談會(huì)，擬邀請(qǐng)20名來自本校機(jī)械工程學(xué)院、海洋學(xué)院、醫(yī)學(xué)院、經(jīng)濟(jì)學(xué)院的學(xué)生參加，各學(xué)院邀請(qǐng)的學(xué)生數(shù)如下表所示：

學(xué)院	機(jī)械工程學(xué)院	海洋學(xué)院	醫(yī)學(xué)院	經(jīng)濟(jì)學(xué)院
人數(shù)	4	6	4	6

（Ⅰ）從這20名學(xué)生中隨機(jī)選出3名學(xué)生發(fā)言，求這3名學(xué)生中任意兩個(gè)均不屬于同一學(xué)院的概率；
（Ⅱ）從這20名學(xué)生中隨機(jī)選出3名學(xué)生發(fā)言，設(shè)來自醫(yī)學(xué)院的學(xué)生數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）從20名學(xué)生隨機(jī)選出3名的方法數(shù)為

C

3 20

，選出3人中任意兩個(gè)均不屬于同一學(xué)院的方法數(shù)為

C

1 4

•

C

1 6

•

C

1 4

+

C

1 4

•

C

1 6

•

C

1 6

+

C

1 4

•

C

1 4

•

C

1 6

+

C

1 6

•

C

1 4

•

C

1 6

，由此利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出這3名學(xué)生中任意兩個(gè)均不屬于同一學(xué)院的概率．
（Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）從20名學(xué)生隨機(jī)選出3名的方法數(shù)為

C

3 20

，
選出3人中任意兩個(gè)均不屬于同一學(xué)院的方法數(shù)為：

C

1 4

•

C

1 6

•

C

1 4

+

C

1 4

•

C

1 6

•

C

1 6

+

C

1 4

•

C

1 4

•

C

1 6

+

C

1 6

•

C

1 4

•

C

1 6

所以P=

C 1 4 • C 1 6 • C 1 4 + C 1 4 • C 1 6 • C 1 6 + C 1 4 • C 1 4 • C 1 6 + C 1 6 • C 1 4 • C 1 6

C 3 20

=

8

19

（Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3，
P(ξ=0)=

C 3 16

C 3 20

=

5×7×16

3×20×19

=

28

57

，P(ξ=1)=

C 2 16 C 1 4

C 3 20

=

8×15×4

3×20×19

=

8

19

，P(ξ=2)=

C 1 16 C 2 4

C 3 20

=

16×6

3×20×19

=

8

95

，P(ξ=3)=

C 3 4

C 3 20

=

4

3×20×19

=

1

285

所以ξ的分布列為

	0	1	2	3
P	28 57	8 19	8 95	1 285

所以E(ξ)=

28

57

×0+

8

19

×1+

8

95

×2+

1

285

×3=

57

95

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．