Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的中心為O，過其右焦點F的直線與兩條漸近線交于A、B兩點，

FA

與

BF

同向，且FA⊥OA，若|OA|+|OB|=2|AB|，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  3

• B、

  6

  2

• C、

  10

  3

• D、

  5

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由勾股定理、|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，得出直角三角形的2個直角邊的長度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進而求出離心率．

解答： 解：由FA⊥OA知，|OA|²+|AB|²=|OB|²，
又|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，
所以|OA|：|AB|：|OB|=3：4：5，
于是tan∠AOB=

4

3

．
因為

FA

與

BF

同向，
所以過F作直線l₁的垂線與雙曲線相交于同一支．
而雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程y=±

b

a

x，故

2b a

1- b2 a2

=

4

3

，
解得a=2b，
故雙曲線的離心率e=

c

a

=

a2+b2

a

=

5

2

．
故選：D．

點評：本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，確定tan∠AOB=

4

3

，聯(lián)想到對應(yīng)的是漸近線的夾角的正切值，是解題的關(guān)鍵．