Question

設(shè)正三棱錐P—ABC的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為2a，過A作與PB、PC分別交于D、E的截面．

(1)求截面三角形ADE的周長(zhǎng)的最小值；

(2)求截面三角形ADE周長(zhǎng)最小時(shí)的截面面積．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如圖甲所示，將三棱錐沿PA剪開，展開攤平在一個(gè)平面上，顯然△ADE的周長(zhǎng)l＝AD＋DE＋EA′≥AA′，則當(dāng)AD、DE、EA′在一條直線上時(shí)，對(duì)應(yīng)的截面△ADE的周長(zhǎng)最短，則A、A′兩點(diǎn)的連線段AA′的長(zhǎng)度是△ADE周長(zhǎng)的最小值． 　　由題意，過P作PM⊥BC，則M為BC的中點(diǎn)，而正三棱錐三側(cè)面均為三個(gè)全等的等腰三角形，則在圖乙中，正三棱錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)關(guān)于PM對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，則AD＝A′E，且有AA′⊥PM，又PM⊥BC． 　　∴AA′∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴AD＝EA′＝AB＝a，∴△ABD∽△PBC． 　　∴＝，∴BD＝·a＝，∴PD＝2a－＝，又DE∥BC，∴＝，∴DE＝·a＝． 　　故截面△ADE周長(zhǎng)的最小值為AD＋DE＋EA′＝a＋＋a＝a． 　　(2)∵△ADE為等腰三角形，又AD＝A′E＝a，DE＝． 　　∴DE底邊上的高h(yuǎn)＝＝a 　　∴S△ADE＝h·DE＝×a·＝a2