Question

已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且過點(diǎn)．
（１）求橢圓的方程；
（２）設(shè)、、是橢圓上的三點(diǎn)，若，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，求證：．

Answer 1

（1）；（2）詳見試題解析．

解析試題分析：（1）由已知列方程組可求得的值，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和待定系數(shù)法可得線段的中點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，有橢圓的定義最終可得．
試題解析：(1)由已知 　　　　　　　　　　　　　　　　　    ２分
解得.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　            ４分
橢圓的方程為．　　　　　　　　　　　　　　　　           ５分
（２）設(shè)，則，．   6分
由,
得,即．    ７分
是橢圓上一點(diǎn)，所以
，　　　　　　　　　　　      ８分
即
得，故．    ９分
又線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，　　　　　　　      10分
，11分
線段的中點(diǎn)在橢圓上．　        12分
橢圓的兩焦點(diǎn)恰為， 　　       13分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　          14分
考點(diǎn)：1、橢圓的定義、方程；2、應(yīng)用平面向量解決解析幾何問題．