Question

9．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x-4y=0交橢圓E于A，B兩點，若|AF|+|BF|=4，點M到直線l的距離不小于$\frac{4}{5}$，則橢圓E的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• B． （0，$\frac{3}{4}$]
• C． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
• D． [$\frac{3}{4}$，1）

Answer 1

分析 如圖所示，設F′為橢圓的左焦點，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由點M到直線l的距離不小于$\frac{4}{5}$，可得$\frac{|4b|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$$≥\frac{4}{5}$，解得b≥1．再利用離心率計算公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$即可得出．

解答 解：如圖所示，設F′為橢圓的左焦點，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，
∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．
取M（0，b），∵點M到直線l的距離不小于$\frac{4}{5}$，∴$\frac{|4b|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$$≥\frac{4}{5}$，解得b≥1．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$≤$\sqrt{1-\frac{1}{{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴橢圓E的離心率的取值范圍是$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、點到直線的距離公式、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．