Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．
（1）若AC⊥PD，求證：AC⊥平面PBD；
（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求證：|PB|=|PD|．

Answer 1

分析 （1）菱形的對角線AC⊥BD，結(jié)合已知條件AC⊥PD，利用線面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBD；
（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合AC⊥BD得到BD⊥平面PAC，從而BD⊥PO且PO是BD的垂直平分線，得到|PB|=|PD|；

解答 證明：（1）因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因為AC⊥PD，PD∩BD=D，
所以AC⊥平面PBD…（4分）
（2）由（1）知AC⊥BD．
因為平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面PAC．
因為PO?平面PAC，
所以BD⊥PO．
因為底面ABCD是菱形，
所以|BO|=|DO|，
所以|PB|=|PD|．…（10分）

點評 本題給出一個特殊四棱錐，要我們證明線面垂直，著重考查了空間平行、垂直位置關系的判斷與證明等知識，屬于中檔題．