Question

已知函數(shù)，

（1）當(dāng)且時，證明：對，；

（2）若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；

（3）數(shù)列，若存在常數(shù)，，都有，則稱數(shù)列有上界。已知，試判斷數(shù)列是否有上界．

 

Answer 1

【答案】

（1），，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取最大值，即，，即

（2）（3）數(shù)列無上界

【解析】

試題分析：⑴當(dāng)且時，設(shè)，，……1分，解得。

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取最大值，即，，即

（2）若，=

所以

因為函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解

所以在上有解

所以在上有解，即使得

令，則，研究，當(dāng)時，

所以

（3）數(shù)列無上界

，設(shè)，，由⑴得，，所以，，取為任意一個不小于的自然數(shù)，則，數(shù)列無上界。

考點：函數(shù)單調(diào)性最值與不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化

點評：不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，第二問將函數(shù)存在減區(qū)間首先轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)小于零有解，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，通過本題要加強不等式與函數(shù)的互相轉(zhuǎn)化的思維思路的培養(yǎng)與訓(xùn)練