Question

【題目】已知函數(shù).

（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，求在上的最大值；

（3）試證明：對任意，不等式都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）在上的最大值為；

(3) 證明過程詳見試題解析.

【解析】試題分析：（1）先對函數(shù)求導，令導函數(shù)為0，即可求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． （2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分時， 時， 三種情況進行討論，即可求在上的最大值；(3) 把證明過程轉(zhuǎn)化為恒成立問題即可.

試題解析：（1）解：（1）函數(shù)的定義域是．由已知．

令，得．

因為當時， ；當時， ．

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）由（1）可知當，即時， 在上單調(diào)遞增，所以．

當時， 在上單調(diào)遞減，所以．

當，即時， ．

綜上所述，

（3）由（1）知當時．所以在時恒有，即，當且僅當時等號成立．因此對任意恒有．因為， ，所以，即．因此對任意，不等式．