Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-a_n，證明：{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)a_n+2=2a_n+1-a_n+2變形可知a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n+1-a_n}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列；
（2）通過（1）可知a_n+1-a_n=2n-1，利用累加法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+2=2a_n+1-a_n+2，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，
又∵a₂-a₁=2-1=1，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知a_n+1-a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n-a_n-1=2（n-1）-1，
a_n-1-a_n-2=2（n-2）-1，
…
a₂-a₁=2•1-1，
累加得，a_n-a₁=2[1+2+…+（n-1）]-（n-1）
=2•$\frac{n（n-1）}{2}$-n+1
=n²-2n+1，
∴a_n=a₁+n²-2n+1=n²-2n+2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n²-2n+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的判定及數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．