Question

【題目】已知函數(shù)（其中）在點(diǎn)處的切線斜率為1.

（1）用表示；

（2）設(shè)，若對(duì)定義域內(nèi)的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在（2）的前提下，如果，證明： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（III）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意即得；

（2）在定義域上恒成立，即，由恒成立，得，再證當(dāng)時(shí)， 即可；

（3）由（2）知，且在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，要證明，等價(jià)于，需要證明，令，可證得在上單調(diào)遞增， 即可證得.

試題解析：

（1），由題意

（2）在定義域上恒成立，即。

解法一： 恒成立，則。

當(dāng)時(shí)， ，

令得（注意）

所以時(shí)， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增。

所以，符合題意。

綜上所述， 對(duì)定義域內(nèi)的恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是。

解法二：（分離變量）恒成立，分離變量可得

對(duì)恒成立，

令，則。

這里先證明，記，則，

易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ，所以。

因此， ，且時(shí)，

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是。

（3）由（2）知，且在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，要證明，等價(jià)于，

只需要證明，這里，

令

，求導(dǎo)得

.

注意當(dāng)時(shí)， ， ，（可由基本不等式推出）又

因此可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。

所以在上單調(diào)遞增， ，也即，

因此，此時(shí)都在單調(diào)遞增區(qū)間上，

所以，得