Question

5．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠ADC=120°，AD=DC=2，AB=4，動點M在△BCD內(nèi)（含邊界）運動，設(shè)$\overrightarrow{AM}$=$λ\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，則λ+μ的取值范圍是[1，$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 建立空間坐標系，利用向量的基本定理，求出M的坐標，利用線性規(guī)劃的知識進行求解．

解答 解：將四邊形ABCD放入坐標系中，
則A（0，0），D（0，2），B（4，0），
∵∠ADC=120°，AD=DC=2，
∴∠DCA=30°，AC=$2\sqrt{3}$，
則C（$\sqrt{3}，3$），
設(shè)M（x，y），
∵$\overrightarrow{AM}$=$λ\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，
∴（x，y）=λ（4，0）+μ（0，2）=（4λ，2μ），
即x=4λ，y=2μ，
則λ=$\frac{x}{4}$，μ=$\frac{y}{2}$，
則λ+μ=$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$，
設(shè)z=$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$，
則y=$-\frac{x}{2}$+2z，
平移直線y=$-\frac{x}{2}$+2z，
由圖象知當直線y=$-\frac{x}{2}$+2z經(jīng)過點B（4，0）時，截距最小，此時z最小，z=$\frac{4}{4}+0=1$，
當直線y=$-\frac{x}{2}$+2z經(jīng)過點C（$\sqrt{3}，3$）時，截距最大，此時z最大，
即z=$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{2}$，
故1≤z≤$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{2}$，
故λ+μ的取值范圍是[1，$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{2}$]，
故答案為：[1，$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{2}$]

點評 本題主要考查平面向量基本定理的應(yīng)用以及線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，建立坐標系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．