Question

15．命題p：函數(shù)y=x+$\frac{2}{x}$在[1，4]上的值域為[3，$\frac{9}{2}$]，命題q：${log}_{\frac{1}{2}}$（a+1）＞${log}_{\frac{1}{2}}$a（a＞0），下列命題中，真命題的是（　　）

• A． p∧q
• B． p∨q
• C． p∧（￢q）
• D． p∨（￢q）

Answer 1

分析 對于命題p，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值即可得出；對于命題q：利用對數(shù)函數(shù)的單調性即可判斷出真假．

解答 解：命題p：函數(shù)f（x）=x+$\frac{2}{x}$，f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{{x}^{2}}$，當x∈$[1，\sqrt{2}）$時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調遞減；當x∈$（\sqrt{2}，4]$時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調遞增．∴當x=$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f$（\sqrt{2}）$=$2\sqrt{2}$；而f（1）=3，f（4）=4+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$．∴函數(shù)f（x）在[1，4]上的值域為[2$\sqrt{2}$，$\frac{9}{2}$]，因此是假命題．
命題q：∵a+1＞a，∴${log}_{\frac{1}{2}}$（a+1）＜${log}_{\frac{1}{2}}$a（a＞0），因此是假命題．
由上面可知：p是假命題，q是假命題，￢q是真命題．
∴P∨￢q是真命題，
故選：D．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、對數(shù)函數(shù)的單調性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．