Question

【題目】類似于平面直角坐標系，我們可以定義平面斜坐標系：設數軸的交點為，與軸正方向同向的單位向量分別是，且與的夾角為，其中。由平面向量基本定理，對于平面內的向量，存在唯一有序實數對，使得，把叫做點在斜坐標系中的坐標，也叫做向量在斜坐標系中的坐標。在平面斜坐標系內，直線的方向向量、法向量、點方向式方程、一般式方程等概念與平面直角坐標系內相應概念以相同方式定義，如時，方程表示斜坐標系內一條過點(2,1)，且方向向量為(4,-5)的直線。

（1）若， ，且與的夾角為銳角，求實數m的取值范圍；

（2）若，已知點和直線 ①求l的一個法向量；②求點A到直線l的距離。

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）根據條件，，根據夾角為銳角，得出>0，從而得出同向時，可得到存在t，使得，從而求出m＝12，這樣即可得出實數m的取值范圍；

（2）①先把直線l的方程寫成，從而得出直線l的方向向量為，可設法向量為，可由即可得到5a+7b＝0，從而可取a＝﹣7，b＝5，從而得出l的一個法向量為;

②可取直線l上一點B（0，2），從而得到，從而得出點A到直線l的距離為.

（1）由已知，且=2m+6+（12+m）( )= ，得 ;

若和同向，則存在正數t，使得 ,

由和不平行得， 得m=12，

故所求為;

（2）①方程可變形為，方向向量為,

設法向量為，由 得,

令;

②取直線上一點B(0,2)，則 ，所求為