Question

【題目】已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且.

（1）求函數(shù),的解析式；

（2）設(shè)函數(shù),記（,）.探究是否存在正整數(shù),使得對任意的,不等式恒成立？若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在,請說明理由.

參考結(jié)論：設(shè)均為常數(shù),函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱的充要條件是.

Answer 1

【答案】（1）,.（2）存在,.

【解析】

（1）用替換后,根據(jù)題中奇偶性,利用奇偶性性質(zhì)得到方程組,即可解得答案。

（2）表達(dá)式中分子分母中的自變量格式統(tǒng)一,故可看作是平移后所得,找出其原函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)奇偶性判斷得到的奇偶性,從而得到對稱性,再反推得到的對稱情況,利用對稱的性質(zhì)得到函數(shù)的表達(dá)式,再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法得到最小值,借此得到的取值范圍,再根據(jù)題目所給條件即可鎖定的取值。

解：（1）∵,

∴.

又為偶函數(shù),為奇函數(shù),

∴,

,

∴,.

（2）存在滿足條件的正整數(shù)n.

由題意可知：為奇函數(shù),其圖象關(guān)于中心對稱,

∴函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱,

即對,.

∵,

∴.

兩式相加,得

,

即.

∴.

由,

得,.

∵,

∴,

由此可得恒成立.

即對任意的恒成立.

令,,,則,

,,且,

則

∵,,∴.

則在上單調(diào)遞增,

∴在上單調(diào)遞增,

∴

∴.

又由已知,,

∴