Question

6．已知f（x）=2ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）證明：2ln（$\frac{x}{2}+1$）-6≤（x+3）（x-2）

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，由題意可得，f′（0）=0，解方程可得a=2；
（2）由題意，證明2ln（$\frac{x}{2}+1$）-6≤（x+3）（x-2）恒成立，可以構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x+3）（x-2）-2ln（1+$\frac{x}{2}$）+6，將證明不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）≥0恒成立的問題，可利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定出函數(shù)g（x）的最小值，若最小值大于等于0，則可得原不等式成立．

解答 （1）解：f（x）=2ln（x+a）-x²-x的導數(shù)為f′（x）=$\frac{2}{x+a}$-2x-1，
由于在x=0處取得極值，即有f′（0）=0，
即$\frac{2}{a}$-1=0，解得a=2；
（2）證明：由題意，設函數(shù)g（x）=（x+3）（x-2）-2ln（1+$\frac{x}{2}$）+6，
函數(shù)g（x）的定義域為（-2，+∞）
又g′（x）=2x+1-$\frac{2}{x+2}$=$\frac{2x（x+\frac{5}{2}）}{x+2}$，
令g′（x）＞0解得x＞0，
令g′（x）＜0解得-2＜x＜0．
又函數(shù)g（x）的定義域是（-2，+∞），
所以函數(shù)g（x）區(qū)間（-2，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)
即有g(shù)（x）≥g（0）=0，
即有2ln（$\frac{x}{2}+1$）-6≤（x+3）（x-2）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求極值和單調(diào)區(qū)間，以及最值，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，注意構(gòu)造函數(shù)運用最值證明不等式的方法，屬于中檔題．