Question

【題目】若、、均為正整數(shù)，且，為一素數(shù)，、、的進制表示分別為，其中，.證明：

（1）若，且對整數(shù) 均有，則，其中，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù).

（2） ，其中，表示集合A中元素的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）注意到，.

于是，.

則.

故.

（1）若，且，則記.

以，為例，易得.

一般地，關于不難得出公式：.

由（1）得.

令.則.

先介紹兩個引理.

引理1 ，其中，.

引理1的證明 事實上，由，

知.

引理2 若存在整數(shù)，有，

而，則存在整數(shù) ，有

引理2的證明 由，即.

又由，得

.

于是，.

因為，所以，.

故.

從而，.

若，則，即.

若，則.

由，

知.

于是，.

所以，，即.

否則，

由于，從而，一定存在整數(shù)使得，即.

回到原題.

相對于的進制表示，稱中的一段是長度為的一個“下移端”，記為.

顯然，.

從而，，即為引理2的條件.

因此，當時，若，則，存在另一個下移段.

由上述討論，知若中有個，則中存在個下移段 .

當時，顯然，，且.

當時，，仍有.

上述兩種情形均有.

由引理1及（1）知.

對任意的，當時，由引理1知

.

綜上，即得

.

令.則.

故

.