Question

16．設二次函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+m圖象的頂點為C，與x軸的交點分別為A、B．若△ABC的面積為8$\sqrt{2}$．
（1）求m的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）可令f（x）=0，從而可以解出x=$±\sqrt{2m}$，這樣可以求出AB=$2\sqrt{2m}$，而OC=m，從而根據(jù)△ABC的面積為8$\sqrt{2}$便可求出m=4；
（2）寫出$f（x）=-\frac{1}{2}{x}^{2}+4$，從而可以看出x分別取0，2時，f（x）在區(qū)間[-1，2]上分別取到最大、最小值，并且可求出該最大、最小值．

解答 解：（1）如圖，

令f（x）=0得，x=$±\sqrt{2m}$，OC=m；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•（2\sqrt{2m}）•m=8\sqrt{2}$；
∴m=4；
（2）$f（x）=-\frac{1}{2}{x}^{2}+4$；
∵x∈[-1，2]；
∴x=0時，f（x）取最大值4，x=2時，f（x）取最小值2；
∴f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為4，最小值為2．

點評 考查二次函數(shù)的圖象，三角形的面積公式，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值的求法，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法．