Question

11．已知△ABC的面積為3，且滿足2$\sqrt{3}$≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，設(shè)$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$的夾角為θ．
（1）求θ的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（θ）=2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-cos2θ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由△ABC的面積為3，可得bc=$\frac{6}{sinθ}$．由2$\sqrt{3}$≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，可得$2\sqrt{3}≤$bccosθ≤6，θ∈$（0，\frac{π}{2}）$．化為1≤tanθ≤$\sqrt{3}$，即可得出．
（2）函數(shù)f（θ）=2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-cos2θ=$\sqrt{2}sin（2θ-\frac{π}{4}）$+1，利用θ∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$．可得$（2θ-\frac{π}{4}）$∈$[\frac{π}{4}，\frac{5π}{12}]$，即可得出．

解答 解：（1）∵△ABC的面積為3，∴$\frac{1}{2}bcsinθ$=3，∴bc=$\frac{6}{sinθ}$．
∵2$\sqrt{3}$≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，
∴$2\sqrt{3}≤$bccosθ≤6，θ∈$（0，\frac{π}{2}）$．
∴$2\sqrt{3}$≤6×$\frac{cosθ}{sinθ}$≤6，
∴1≤tanθ≤$\sqrt{3}$，
∴θ∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$．
（2）函數(shù)f（θ）=2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-cos2θ
=$1-cos（\frac{π}{2}+2θ）$-cos2θ
=1+sin2θ-cos2θ
=$\sqrt{2}sin（2θ-\frac{π}{4}）$+1，
∵θ∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$．
∴$（2θ-\frac{π}{4}）$∈$[\frac{π}{4}，\frac{5π}{12}]$，
當(dāng)$2θ-\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，即$θ=\frac{π}{4}$時(shí)，$sin（2θ-\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時(shí)f（θ）取得最小值2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式、倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．