Question

11．已知直線l₁：（m²-m-2）x+2y+m-2=0，l₂：2x+（m-2）y+2=0，當(dāng)m為何值時．
（1）l₁⊥l₂；（2）l₁∥l₂；（3）l₁、l₂有交點．

Answer 1

分析 （1）m=2時，兩條直線方程分別化為：y=0，x+1=0，即可判斷出是否滿足l₁⊥l₂．m≠2時，由l₁⊥l₂，可得$-\frac{{m}^{2}-m-2}{2}$×$（-\frac{2}{m-2}）$=-1，解得m即可．
（2）m=2時，兩條直線方程分別化為：y=0，x+1=0，不滿足l₁∥l₂，因此m≠2．當(dāng)m≠2時，兩條直線方程分別化為：$y=-\frac{{m}^{2}-m-2}{2}$x+$\frac{2-m}{2}$，$y=-\frac{2}{m-2}x$+$\frac{2}{2-m}$．
利用l₁∥l₂與斜率與截距的關(guān)系即可得出．
（3）由（1）可知：m=±2時，l₁與l₂相交．當(dāng)m≠2時，$-\frac{{m}^{2}-m-2}{2}$≠$-\frac{2}{m-2}$，解得m即可得出．

解答 解：（1）m=2時，兩條直線方程分別化為：y=0，x+1=0，滿足l₁⊥l₂，因此m=2．
m≠2時，∵l₁⊥l₂，∴$-\frac{{m}^{2}-m-2}{2}$×$（-\frac{2}{m-2}）$=-1，解得m=-2．
綜上可得：m=±2時，l₁⊥l₂；
（2）m=2時，兩條直線方程分別化為：y=0，x+1=0，滿足l₁⊥l₂，因此不滿足l₁∥l₂，因此m≠2．
當(dāng)m≠2時，兩條直線方程分別化為：$y=-\frac{{m}^{2}-m-2}{2}$x+$\frac{2-m}{2}$，$y=-\frac{2}{m-2}x$+$\frac{2}{2-m}$．
∵l₁∥l₂，∴$-\frac{{m}^{2}-m-2}{2}$=$-\frac{2}{m-2}$，$\frac{2-m}{2}$≠$\frac{2}{2-m}$，解得m=3．
綜上可得：m=3．
（3）由（1）可知：m=±2時，l₁與l₂相交．
當(dāng)m≠2時，$-\frac{{m}^{2}-m-2}{2}$≠$-\frac{2}{m-2}$，解得m≠0，3．
∴m≠0，3，兩條直線相交．

點評 本題考查了兩條直線平行、相交、垂直與斜率及其截距的關(guān)系，考查了分類討論、計算能力，屬于中檔題．