Question

【題目】請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答．

①AB⊥BC，②FC與平面ABCD所成的角為，③∠ABC．

如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中點為F．

（1）在線段AB上是否存在一點G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并給以證明；若不存在，請說明理由；

（2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）存在，G是線段AB的中點，證明見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）設PC的中點為H，連結FH，由題意得AGHF為平行四邊形，則AF∥GH，由此能證明在線段AB上存在中點G，使得AF∥平面PCG．

（2）選擇①AB⊥BC，推導出AB，AD，AP彼此兩兩垂直，以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．選擇②FC與平面ABCD所成的角為，取BC中點E，連結AE，取AD的中點M，連結FM，CM，則FM∥PA，且FM＝1，FM⊥平面ABCD，FC與平面ABCD所成角為∠FCM，，推導出AE，AD，AP彼此兩兩垂直，以AE、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．選擇③∠ABC，推導出PA⊥BC，取BC中點E，連結AE，推導出 AE，AD，AP彼此兩兩垂直，以AE、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．

（1）在線段AB上存在中點G，使得AF∥平面PCG．

證明如下：如圖所示：

設PC的中點為H，連結FH，

因為，，，，

所以

所以四邊形AGHF為平行四邊形，

則AF∥GH，

又GH平面PGC，AF平面PGC，

∴AF∥平面PGC．

（2）選擇①AB⊥BC：

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，

由題意知AB，AD，AP彼此兩兩垂直，

以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

∵PA＝AB＝2，

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），F（0，1，1），P（0，0，2），

∴（0，1，1），（﹣2，﹣1，1），

設平面FAC的一個法向量為（x，y，z），

∴，

取y＝1，得（﹣1，1，﹣1），

平面ACD的一個法向量為（0，0，1），

設二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ，

則cosθ，

∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．

選擇②FC與平面ABCD所成的角為：

∵PA⊥平面ABCD，取BC中點E，連結AE，取AD的中點M，連結FM，CM，

則FM∥PA，且FM＝1，

∴FM⊥平面ABCD，

FC與平面ABCD所成角為∠FCM，∴，

在Rt△FCM中，CM，

又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE，

∴AE，AD，AP彼此兩兩垂直，

以AE、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

∵PA＝AB＝2，

∴A（ 0，0，0），B（ ，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），E（，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），

∴（0，1，1），（，0，1），

設平面EAC的一個法向量為（x，y，z），

則，

取x，得（，﹣3，3），

平面ACD的一個法向量為：（0，0，1），

設二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ，

則cosθ．

∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．

選擇③∠ABC：

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BC，取BC中點E，連結AE，

∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，

∵E是BC的中點，∴BC⊥AE，

∴AE，AD，AP彼此兩兩垂直，

以AE、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

∵PA＝AB＝2，

∴A（ 0，0，0），B（ ，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），E（，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），

∴（0，1，1），（，0，1），

設平面EAC的一個法向量為（x，y，z），

則，

取x，得（，﹣3，3），

平面ACD的法向量（0，0，1），

設二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ，

θ則cosθ．

∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．