Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分

（文）對于曲線，若存在非負實數(shù)和，使得曲線上任意一點，恒成立(其中為坐標原點)，則稱曲線為有界曲線，且稱的最小值為曲線的外確界，的最大值為曲線的內(nèi)確界．

（1）寫出曲線的外確界與內(nèi)確界；

（2）曲線與曲線是否為有界曲線？若是，求出其外確界與內(nèi)確界；若不是，請說明理由；

（3）已知曲線上任意一點到定點的距離之積為常數(shù)，求曲線的外確界與內(nèi)確界．

Answer 1

(1) (2) ， (3) 外確界，內(nèi)確界．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)信息外確界與內(nèi)確界，即原點到曲線的最大值與最小值，曲線的外確界與內(nèi)確界，即原點到直線的最大值與最小值，易得答案；（2）看曲線與曲線是否為有界曲線，即看此曲線上的點與原點的距離是否即有最大值又有最小值；（3）根據(jù)曲線上任意一點到定點的距離之積為常數(shù)，求出曲線的方程，求外確界與內(nèi)確界時，注意分類討論的思想．

試題解析：（1）曲線的外確界與內(nèi)確界． 4分

（2）對于曲線，設為曲線上任意一點

曲線不是有界曲線． 7分

對于曲線

曲線是有界曲線．外確界與內(nèi)確界 10分

（3）由已知得： 12分

14分

若，則，外確界，內(nèi)確界 16分

若，，則，外確界，內(nèi)確界

綜合得：外確界，內(nèi)確界． 18分.

考點：曲線外確界與內(nèi)確界的求法.