【題目】已知函數(shù)
．
（1）試討論
的單調(diào)性；
（2）若
有兩個極值點
， 
，且
，求證： 
．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】試題分析：（1）求導
， 
，討論
兩種情況即可得解（2）
， 
由題意
， 
是方程
的兩個根，所以
，① 
，②聯(lián)立①②得出
，所以
令
，所以
， 
，因此只需證明當
時，不等式
成立即可，即不等式
成立，構(gòu)造差函數(shù)研究單調(diào)性即可得證.
試題解析：
（1）函數(shù)
的定義域為
， 
，
令
， 
，
當
時，解得
，此時
在
上恒成立，
故可得
在
上恒成立，即當
時， 
在
上單調(diào)遞增．
當
時，解得
或
，
方程
的兩根為
和
，
當
時，可知
， 
，此時在
上
， 
在
上單調(diào)遞增；
當
時，易知
， 
，此時可得
在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增．
綜上可知，當
時， 
在
上單調(diào)遞增；
當
時， 
在區(qū)間
和區(qū)間
上單調(diào)遞增，在區(qū)間
上單調(diào)遞減．
（2）
，
，由題意
， 
是方程
的兩個根，所以
，①
，②
①②兩式相加可得
，③
①②兩式相減可得
，④
由③④兩式消去
可得
，
所以
，
設
，因為
，所以
，所以
， 
，
因此只需證明當
時，不等式
成立即可，即不等式
成立．
設函數(shù)
，由（1）可知， 
在
上單調(diào)遞增，故
，即證得當
時， 
，亦即證得
，
所以
，即證得
．
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖四棱錐
中， 
平面
，底面
是梯形， 
， 
， 
， 
， 
， 
為
的中點， 
為
上一點，且
（
）．
（1）若
時，求證： 
平面
；
（2）若直線
與平面
所成角的正弦值為
，求異面直線
與直線
所成角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】橢圓
（
）的左、右焦點分別為
，
，過作垂直于
軸的直線與橢圓
在第一象限交于點
，若
，且
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點關于
軸的對稱點
在拋物線
上，是否存在直線
與橢圓交于
，使得的中點
落在直線
上，并且與拋物線
相切，若直線存在，求出的方程，若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在Rt
中，
，點
、
分別在線段
、
上，且
，將
沿
折起到
的位置，使得二面角
的大小為
.
（1）求證：
；
（2）當點為線段的靠近
點的三等分點時，求
與平面
所成角
的正弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（
）在同一半周期內(nèi)的圖象過點
， 
， 
，其中
為坐標原點， 
為函數(shù)
圖象的最高點， 
為函數(shù)
的圖象與
軸的正半軸的交點， 
為等腰直角三角形.
（1）求
的值；
（2）將
繞原點
按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角
，得到
，若點
恰好落在曲線
（
）上（如圖所示），試判斷點
是否也落在曲線
（
）上，并說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的長軸長是短軸長的
倍，且過點
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若
的頂點
、
在橢圓上， 
所在的直線斜率為
， 
所在的直線斜率為
，若
，求
的最大值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x(單位：噸)對價格y(單位：千元/噸)和利潤z的影響，對近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表：
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 7.0 | 6.5 | 5.5 | 3.8 | 2.2 |
(1)求y關于x的線性回歸方程
；
(2)若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預測當年產(chǎn)量為多少時，年利潤z取到最大值？(保留兩位小數(shù))
參考公式： 
， 
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