Question

1．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD且2AB=CD，PD=PA，點H為線段AD的中點，若$PH=1，AD=\sqrt{2}$，PB與平面ABCD所成角的大小為45°．
（1）證明：PH⊥平面ABCD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥平面PAD，可得平面PAD⊥平面ABCD，再由已知求得PH⊥AD，由面面垂直的性質(zhì)得到PH⊥平面ABCD；
（2）由（1）可得∠PBH為PB與平面ABCD所成角等于45°，求解直角三角形BAH得到AB，進一步得到CD，求得底面直角梯形的面積，代入棱錐體積公式得答案．

解答 （1）證明：如圖，∵AB⊥平面PAD，AB?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
又PD=PA，點H為線段AD的中點，
∴PH⊥AD，則PH⊥平面ABCD；
（2）解：在△PAD中，∵H為線段AD的中點，AD=$\sqrt{2}$，
∴AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由（1）知，PH⊥平面ABCD，
連接BH，則∠PBH為PB與平面ABCD所成角等于45°，
在Rt△PHB中，由∠PBH=45°，得PH=BH=1，
在Rt△BAH中，有AB=$\sqrt{B{H}^{2}-A{H}^{2}}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則CD=2AB=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{ABCD}=\frac{1}{2}×（\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}）×\sqrt{2}=\frac{3}{2}$，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×{S}_{ABCD}×PH=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×1$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查了面面垂直的性質(zhì)，考查了棱錐體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．